Elektronenbeugung | Doppelspalt
| De Broglie | Bornsche
Interpretation | Übungsaufgaben
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Teil
A: Experimente - Theorie
1.
Elektronenbeugungsröhre
Elektronen
dampfen aus dem Heizdraht aus und werden über die Beschleunigungsspannung UB
beschleunigt. In A
2
treffen diese auf eine Graphitfolie und werden an den Kristallebenen
entsprechend der Bragg-Reflexion gebeugt. Auf dem Schirm entsteht ein
Interferenzmuster (s.o.; Helle Ringe). Dies ist ein Nachweis für den
Wellencharakter der Elektronen.
2.
Doppelspalt
mit Elektronen.
Auch
hier ist wieder die Wellencharakteristik (Interferenzmuster) der Elektronen
sichtbar. Jedoch haben sie auch Teilchencharakter, die man an den einzelnen
Punkten erkennt. Als man diesen Versuch auch mit Atomen durchführte, geschah
das gleiche.
Die
widersprüchlichen Aspekte - Welle - Teilchen - lassen sich in der Deutung des
Elektrons als Quantenobjekt aufheben.
3.
De
Broglie
Durch die
Analogie zum Photon stellte De Broglie Formeln für die Beziehung zwischen
Wellenlänge und Impuls ( p = m v )
der Elektronen her: λ
= h/p
Dies
kann mit der Elektronenbeugungsröhre aus 1. nachgewiesen werden.
Dort
gilt nach der Beschleunigung mit UB:
Mit
der de Broglie Formeln kommt man zur Wellenlänge:
Für
die Bragg-Reflexion (für k=1) gilt:
.
Dies
führt auf dem Schirm (Abstand L zur Grafitfolie) zum Interferenzring mir Radius
R mit, wobei gilt:
.
Für
kleine Winkel gilt dann:
.
Die
Abhängigkeit zwischen R und UB stellt sich so dar:
4.
Bornsche
Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Die
Wahrscheinlichkeit eines Auftreffens eines Quantenobjektes in einem Gebiet kann
man durch das Quadrat der Wellenfunktion
Ψ
(x)
angeben. Die Wellenfunktion richtet
sich nach den Wellengesetzen (abhängig von Wellenlänge und Länge des möglichen
Weges). Für die Wellenfunktionen der möglichen Wege gilt das
Superpositionsprinzip, d. h. sie interferieren.
- Warum lassen sich die o. e. Experimente nicht mit der Teilchen-Vorstellung eines Elektrons erklären?
- Berechne: Elektronen werden mit 50 kV beschleunigt. Berechne ihre Geschwindigkeit, ihren Impuls, ihre Wellenlänge und ihre Frequenz. Berechne für einen Doppelspalt mit Spaltabstand 400 nm die Lage des ersten Minimums bei einem Schirmabstand von 3,5 m. (Überprüfe deine Lösung mit der Simulation!)
- Untersuche mithilfe der Simulation das Verhalten weiterer Teilchen. Entwickle dazu eigene Rechenaufgaben (mit Lösung).
- Hausaufgabe: Dorn-Bader S. 255/A1 und S. 257/A1, A2, A4, A7
Lösungen:
zu
1.Weil in den o. e. Versuchen auch die Welleneigenschaften des Elektrons
sichtbar werden, z. B. Interferenz am Doppelspalt.
zu
2. Geg.: U
B
= 50kV
Bei
einem Doppelspalt mit g = 400 nm und einem
Schirmabstand von a = 3,5m ergibt sich für das erste Minimum des Doppelspaltes
(Einzelspalt vernachlässigt):
zu
3. Protonen (als Quantenobjekt) verlassen den Beschleuniger mit 50∙
106 m/s.
Berechne
Ihre Wellenlänge und den Impuls.
Sie
treffen einen Doppelspalt mit g=20 μm
. Wo liegt das Maximum erster Ordnung - bei einem Schirmabstand von 3,5 m!
Lösung:
zu
4. Aufgaben aus Dorn-Bader
- S.255/A1:
Elektronen (mit 10 keV) - Einkristall mit d = 210 pm: Gesucht sind die
Glanzwinkel:
- S.257/A1
a)
Protonen mit 500 kV: Gesucht ist die Wellenlänge:
b)
Warum haben gleich schnelle H-Atome (fast) die gleiche Wellenlänge)?
λ
ist nur abhängig von p,
dieses wiederum von m und v.
Da H-Atome aus einem Proton und einem Elektronen bestehen, also fast die gleiche
Masse wie ein Proton haben, ist auch die Wellenlänge gleich.
c)
Was gilt für He-Kerne mit 500 kV? (vierfache Masse, doppelte Ladung
eines Protons)
- S.
257/A2
a)
Abhängigkeit zwischen dem Radius R der Beugungsringe und der
Beschleunigungsspannung:
Herleitung s. o. (Teil A, 3): Aus den Formeln ergibt sich auch: R ~ 1/√UB
.
Wird U verdoppelt, verringert sich R um den Faktor √2
.
- S.
257/A4 :
Wellenlänge eines Staubteilchens mit m = 10 pg und 300m/s:
10.tes Maximum an Gitter (g = 1,0μm) mit Schirm in 1,0 m Entfernung:
.
Dies dürfte nicht beobachtbar sein (ungefähr die Größe eines Atomkerns), so dass die klassische Mechanik ein guter Grenzfall der Quantenmechanik ist! - S.
257/A7
Gesucht: Beschleunigungsspannung für Elektronen, die am Doppelspalt (g = 10 μm) beim 10.ten Maximum einen Beugungswinkel von 0,1° haben:
.
zusammengefasst
von C. O’Brien-Organ, M. Klotz, Lk Physik 13 am Kolleg St. Blasien -
korrigiert und ergänzt von J. Rudolf
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