Zeigerdiagramm | Gleiche
Frequenz | Verschiedene Frequenz | Begründung
für Zeigeraddition
1.) Darstellung von harmonischen Schwingungen: Zeigerdiagramm
Eine harmonische Schwingung hat als Funktionsgleichung s(t) = 
sin(wt) (mit Phasenwinkel j0
= 0).
Dies lässt sich im "üblichen" Schaubild darstellen oder im
Zeigerdiagramm. Dort hat der "Zeiger" (also auch der Radius des
Kreises) die Länge und
dreht sich entgegen dem Uhrzeigersinn mit der Winkelgeschwindigkeit w,
der Winkel gegenüber der Horizontalen ist zur Zeit t also j
= w t. Die Länge der Vertikalen (Gegenkathete)
ist dann gerade der Funktionswert s(t) =
sin(wt).
2.) Überlagerung zweier Sinusschwingungen bei gleicher Frequenz
Gegeben: s1(t) = 1
sin(wt) und s2(t) = 2
sin(wt + Dj)
Die Winkelfrequenz ist dieselbe, die Amplitude ist verschieden, die Funktionen sind um Dj gegeneinander phasenverschoben.
Ziel: Wie sieht die Funktion s(t) = s1(t) + s2(t) aus?
Es gibt nun drei Möglichkeiten:
a) Mithilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus die Lösung errechnen. (Umständlich!)
b) Mithilfe eines Computers die Funktion plotten. (Bequem, aber es gibt keine
saubere Funktionsgleichung!)
Wir erkennen: Die Summe hat dieselbe Winkelfrequenz w
(Periode T) aber unterschiedliche Amplitude und Phase.
Die Amplitude
von s(t) ist aber nicht gerade die Summe der Amplituden 1
und 2.
Die Phasenverschiebung a von s(t) ist
nicht gerade die Hälfte von Dj.
c) Mithilfe der Zeigerdarstellung die Lösung zeichnerisch
ermitteln. (Unser Vorgehen!)
Verfahren: 
Zeichne zwei konzentrische Kreise (gleicher Mittelpunkt) mit Radien 1
und 2.
Zeichne die beiden Zeiger bei t = 0 so ein, dass der erste bei j
= 0 und der zweite bei j = Dj
liegt.
Addiere die beiden Zeiger "vektoriell", die Summe ist dann der Zeiger von
s(t).
Mit dem Winkel a zur Horizontalen ergibt sich:
s(t) =
sin(wt +a).
Es ergibt sich wieder eine Sinusschwingung mit gleicher Winkelfrequenz aber veränderter Amplitude und Phasenverschiebung.
Spezialfälle:
(i)
Maximale Verstärkung: Dj = 0 Þ
a = 0; Amplituden werden addiert(ii) Maximale Abschwächung: Dj = p Þ a = 0; Amplituden werden subtrahiert (bei gleichen Amplituden ergibt sich vollständige Auslöschung)
(iii) Phasenverschiebung
3.) Überlagerung zweier Sinusschwingungen bei verschiedener Frequenz: Schwebung
Gegeben: s1(t) = 1
sin(w1 t) und s2(t)
= 2
sin(w2 t)
Ziel: Wie sieht die Funktion s(t) = s1(t) + s2(t)
aus?
Die Amplitude der Summe verändert sich periodisch, sie nimmt ab und wieder zu.
Dieses Phänomen nennen wir Schwebung.
Bsp.: Zwei Stimmgabeln, die geringfügig unterschiedliche Frequenz haben, erzeugen gemeinsam einen Ton, der periodisch lauter und leiser wird.
In der Zeigerdarstellung können wir wie bei (2.) vorgehen. Der Unterschied ist: Die Phasenverschiebung zwischen beiden Schwingungen Dj hängt von der Zeit ab.
Bei
t = 0 ist Dj = 0, die Schwingungen verstärken
sich also maximal.Dann wird Dj größer, da der eine Zeiger vorauseilt (z. B. Zeiger 2 bei w2 > w1.
Die Differenz w2 - w1 gibt an, wie schnell sich Dj ändert: Dj = (w2 - w1) t
Bei Dj = p sind die Zeiger gerade entgegengesetzt, schwächen sich also maximal ab.
Bei Dj = 2p sind die Zeiger wieder "in Phase", verstärken sich also maximal.
Fragen wir nach der Zeit T, in der Dj = 2p ist: 2p = (w2 - w1) T
Die Winkelfrequenz w =2p/T der Schwebung ist also: w = w2 - w1.
4.) Begründung für Zeigeraddition:
Gegeben: 
Die Länge der Zeiger ist gerade die Amplitude, die Senkrechte der
Funktionswert.
Somit ergibt die Zeigeraddition gerade die Summe der Funktionswerte.
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