; 
"Die harmonische Schwingung"

;Federh„rte
d:epsilonReal (0, inf)

;Masse
m:epsilonReal (0, inf)

;Kraftgesetz 
F(t):=-d*s

;Newtonsches Kraftgesetz
F(t)=m*DIF(s,t,2)

;DGL der harmonischen Schwingung
DIF(s,t,2)=-d/m*s

; 
"L”sung fr diese DGL liefert DSOLVE_IV(p,q,r,t,t0,s0,v0)"

; 
"wenn die DGL lautet: s''(t)+p(t)*s'(t)+q(t)*s(t)=r(t)"

;"Start bei max. Auslenkung
"Anfangsbedingung bei t=t0=0: s(t0)=s0; v(t0)=v0=0"

;Amplitude
s0:epsilonReal (0, inf)

; sin(t+Pi/2)=cos(t)
DSOLVE2_IV(0,d/m,0,t,0,s0,0)=s0*COS(SQRT(d)*t/SQRT(m))

;Weg-Zeit-Gesetz
S(t):=s0*COS(SQRT(d)*t/SQRT(m))

;Geschwindigkeit
DIF(S(t),t)=-SQRT(d)*s0*SIN(SQRT(d)*t/SQRT(m))/SQRT(m)

;Beschleunigung
DIF(S(t),t,2)=-d*s0*COS(SQRT(d)*t/SQRT(m))/m

; 
"Energie"

;Kinet. Energie 1/2mv^2
wkin:=1/2*m*DIF(S(t),t,1)^2

;Spannenergie 1/2Ds^2
wspan:=1/2*d*S(t)^2

;Gesamtenergie
wges:=wkin+wspan

;Immer konstant: EES
wges=d*s0^2/2

; 
"Ged„mpfte Schwingung"

;z.B. Rollreibung
"Variante A: konstante Kraft"

;Reibungskraft
r:epsilonReal (0, inf)

;Ausgangsauslenkung
s0:epsilonReal (0, inf)

;Amplitude T/2 sp„ter
s_:epsilonReal (0, inf)

;zurckgelegter Weg: s0+s_
wreib:=r*(s0+s_)

;Energien
1/2*d*s0^2=1/2*d*s_^2+r*(s0+s_)

;Amplitude nimmt konstant ab pro T/2 um 2r/d
s_=s0-2*r/d

;z.B. Luftreibung
"Var. B: R proportional v: R=k*v"

;Maá fr Reibung
k:epsilonReal (0, inf)

;Reibung hemmt: "-"
m*S''(t)=-d*S(t)-k*S'(t)

;DGL
S''(t)+k/m*S'(t)+d/m*S(t)=0

;Konstante fr L”sung
delta:epsilonReal (0, inf)

;Amplitudenverhalten
S_(t):=s0*EXP(-delta*t)

;Weg-Zeit-Gesetz
S(t):=S_(t)*SIN(omega*t)

;Schwingung mit abnehmender Amplitude
S(t):=s0*#e^(-delta*t)*SIN(omega*t)

;Geschwindigkeit
DIF(S(t),t)=#e^(-delta*t)*(omega*s0*COS(omega*t)-delta*s0*SIN(omega*t))

;Beschleunigung
DIF(S(t),t,2)=-#e^(-delta*t)*(2*delta*omega*s0*COS(omega*t)+s0*(omega^2-delta~
^2)*SIN(omega*t))

;Setze ein in DGL!
DIF(S(t),t,2)+k/m*DIF(S(t),t)+d/m*S(t)=0

; 
-#e^(-delta*t)*(2*delta*omega*s0*COS(omega*t)+s0*(omega^2-delta^2)*SIN(omega*~
t))+k/m*#e^(-delta*t)*(omega*s0*COS(omega*t)-delta*s0*SIN(omega*t))+d*s0*#e^(~
-delta*t)*SIN(omega*t)/m=0

;Vereinfacht!
#e^(-delta*t)*(s0*(d+delta^2*m-delta*k-m*omega^2)*SIN(omega*t)/m-omega*s0*(2*~
delta*m-k)*COS(omega*t)/m)=0

;Koeffizient vor dem Cosinus muá 0 sein!
2*delta*m-k=0

;Maá fr Abnahme der Amplitude
[delta=k/(2*m)]

;Koeffizient vor dem Sinus muá 0 sein!
d+delta^2*m-delta*k-m*omega^2=0

;ë eingesetzt!
d+(k/(2*m))^2*m-k/(2*m)*k-m*omega^2=0

;Vereinfacht!
d/m-k^2/(4*m^2)-omega^2=0

;Winkelfrequenz gegen ű(d/m) etwas verschoben!
omega=SQRT(d/m-k^2/(4*m^2))

;Andere Darstellung
omega=SQRT(4*d*m-k^2)/(2*m)