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Federpendel (horizontal)	Federpendel (vertikal)	Fadenpendel
positive Richtung: nach rechts Ruhelage bei s = 0: linke Feder um s1 und rechte Feder um s2 gedehnt: D1 s1 = D2 s2	Ruhelage bei s = 0:  m g = D s0	Vorbem.: Für kleine Winkel (bis ca. 10°) gilt im Bogenmaß die Näherung:  sin(a) » a. Für den Weg s auf dem Kreisbogen gilt: s = a l (im Vollkreis = 2p l)
1.) Vom Kraftgesetz zur DGL: Bei Auslenkung um s < s2 aus Ruhelage s=0 nach rechts: F1 = - D1 (s1+s)  (nach links) F2 =  D2 (s2-s)  (nach rechts) F = F1 + F2 = - D1s1 + D2s2 - D1s - D2s     = -(D1 + D2)s mit D = D1 + D2:	1.) Bei Auslenkung um s aus Ruhelage s=0 nach unten:  FDef = - D(s0 +s)  F = FDef + G =  - D(s0 +s) + G = -Ds DGL:	1.) Die Kraft (nach links), die die Kugel beschleunigt: F = - m g sin(a) = - m g a = - m g/l s   Þ
2.) Lösung dieser DGL: s(t) = sin(wt +j) mit w=Ö (D/m)	2.) Lösung wie links!	2.) s(t) = sin(wt +j) mit w=Ö (g/l)
3.) Interpretation dieser Lösung: a) Die Amplitude . So stark wird der Wagen zu Anfang ausgelenkt. b) Die Periode: T = 2p/w= 2p Ö(m/D). Diese Zeit für eine Schwingung hängt nur von der Masse und der Federhärte ab, nicht aber von der Anfangsauslenkung. c) Ist der Startpunkt s(0) = s0, so lässt sich der Phasenwinkel berechnen: s0 = sin(j)	3.) Interpretation wie links!	3.) a) Amplitude = l hängt vom Winkel , um den maximal ausgelenkt wird. b) T = 2p/w= 2p Ö(l/g) Die Periode hängt weder von der Masse noch von der Anfangs- auslenkung ab, nur von der Länge l des Pendels. c) Unterscheide: zwischen dem Phasenwinkel j (zwischen 0 und 2p), der angibt, in welcher Phase der Schwingung wir uns befinden (bei T/4 ist j = p/2 ) und dem Auslenkungswinkel a.

Übungsaufgabe:
Überprüfe für das vertikale Federpendel den Energieerhaltungssatz.
Zu zeigen: W_kin + W_Def + W_pot = const., d . h. unabhängig von der Zeit.
Lösung