Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Mechanische Schwingungen - Dämpfung

Mechanische Schwingungen - Dämpfung - Resonanz

Gedämpfte Schwingung | Aufhebung der Dämpfung | Erzwungene Schwingung | Phasenbeziehung

1.) Gedämpfte Schwingung

Wenn wir die Reibung nicht vernachlässigen, verändert das schwingende System gegenüber der harmonischen Schwingung sein Verhalten:

die Amplitude wird immer kleiner, da die Reibung dem System Energie entzieht.
bei (konstanter) Gleitreibung nimmt die Amplitude linear ab
bei Luftreibung, die von der Geschwindigkeit abhängt, wird die Abnahme immer geringer, eine exponentielle Abnahme der Amplitude
außerdem verringert sich die Frequenz, da die Reibung die Bewegung abbremst.

2.) Aufhebung der Dämpfung

Führen wir dem System genau die Energie zu, die bei der Reibung verloren geht, so können wir die Dämpfung aufheben.
Bsp.: Beim Schaukeln führen wir in jeder Periode eine Gewichtsverlagerung durch und halten so die Amplitude konstant.

Wenn wir also in derselben Frequenz, in der die Schwingung stattfindet, periodisch Energie zuführen können wir eine harmonische Schwingung aufrecht erhalten. Diese Frequenz nennen wir Eigenfrequenz w₀ der Schwingung.
Bsp.: Beim Federpendel ist die Eigenfrequenz: w₀ = Ö(D/m), beim Fadenpendel gilt: w₀ = Ö(g/l).

3.) Erzwungene Schwingung

Wenn wir die Energiezufuhr mit einer anderen Frequenz w durchführen, so zwingen wir dem schwingenden System eine äußere Frequenz auf: eine erzwungene Schwingung.
Aus Experimenten erkennen wir:

Nach einem Einschwingvorgang stellt sich eine Schwingung mit der (äußeren) Frequenz w ein.

Wenn wir die äußere Frequenz erhöhen, so nimmt die Amplitude der Schwingung zu.

Bei w₀ = w ergibt sich eine Schwingung mit maximaler Amplitude. Es herrscht Resonanz.

Ist die Reibung gering, so kommt es nun zur Resonanzkatastrophe, die Amplitude wächst immer weiter, so dass sich Schäden ergeben. Bsp.: Der Wind schaukelt eine Brücke auf, bis sie bricht.

Steigern wir die Frequenz weiter, nimmt die Amplitude wieder ab.

Dies können wir in der Resonanzkurve darstellen: die Amplitude wird gegen die äußere Frequenz aufgetragen.

4.) Phasenbeziehung bei erzwungenen Schwingungen

Vorbem. 1: Arbeit = Weg mal Kraft: W = F s
Leistung = Arbeit pro Zeit P = W/t = F s/t = F v bzw. Kraft mal Geschwindigkeit

Haben Kraft und Geschwindigkeit dasselbe Vorzeichen (dieselbe Richtung), ist P positiv: Das System nimmt Leistung auf, immer mehr Energie wird zugeführt.

Haben Kraft und Geschwindigkeit entgegengesetztes Vorzeichen (Richtung) ist P negativ: Dem System wird immer Energie entzogen.

Vorbem. 2: Bei einer Schwingung sind Geschwindigkeit v(t) und Auslenkung s(t) um um Dj = p/2 phasenverschoben (z. B.: s(t) = s₀ sin(wt); v(t) = v₀ cos(wt) = v₀ sin(wt + p/2) ).

Resonanzfall w₀ = w
Bei der Eigenfrequenz w₀ (bzw. wg. Dämpfung etwas darunter) tritt Resonanz auf, d. h. das schwingende System wird durch die äußere Kraft F(t) = F₀ sin(wt) immer stärker aufgeschaukelt, d. h. ihm wird immer mehr Energie zugeführt, bis die Energiezufuhr gerade so groß wie die Dämpfung ist.

Damit erkennen wir:
a) Je größer die Dämpfung, desto kleiner ist die maximale Amplitude im Resonanzfall.
b) Im Resonanzfall sind äußere Kraft und Geschwindigkeit in Phase, Dj = 0, d. h. sie zeigen immer in dieselbe Richtung, ständig wird dem System durch die äußere Kraft (Erreger) Energie zugeführt. Äußere Kraft und Auslenkung sind deshalb um Dj = p/2 phasenverschoben.

Außerhalb der Resonanz:
Kraft und Geschwindigkeit sind nicht in Phase (also Kraft und Auslenkung: Dj ¹ p/2), also zeigen sie nicht immer in die gleiche Richtung, also wird dem System auch teilweise Energie entzogen. Die Amplitude bleibt deshalb gering.

Experimentell und theoretisch besteht zwischen äußerer Kraft und Auslenkung folgende Phasenbeziehung.

w < w₀ : Dj = 0
w = w₀ : Dj =p/2
w > w₀ : Dj =p

Beispiel für w > w₀ : Dj =p: Ab der Zeit t = 0 haben Geschwindigkeit und die äußere Kraft entgegengesetztes Vorzeichen, F bremst also ab ( P ist negativ, Energie wird entzogen). Erst ab t = 1,6 s haben sie wieder dasselbe Vorzeichen (P positiv, Energie wird wieder zugeführt). Im Mittel wird dem System keine Leistung zugeführt.