Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Mechanische Wellen

Mechanische Wellen - Interferenz & Stehende Wellen

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Vorbemerkung:
Wir benötigen die Kenntnisse von der Überlagerung von Schwingungen.
Die Ergebnisse aus diesem Kapitel lauten:

bei zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz ergibt sich ein "resultierende" harmonische Schwingungen mit derselben Frequenz.
Amplitude und Phasenbeziehung wird aus dem Zeigerdiagramm ermittelt, z. B.
(i) Maximale Verstärkung: Dj = 0 Þ a = 0; Amplituden werden addiert
(ii) Maximale Abschwächung: Dj = p Þ a = 0; Amplituden werden subtrahiert (bei gleichen Amplituden ergibt sich vollständige Auslöschung)
(iii) Phasenverschiebung
bei zwei harmonischen Schwingungen (geringfügig) unterschiedlicher Frequenz ergibt sich eine Schwebung.
Für die Frequenz f der Schwebung gilt: f = |f₁-f₂|

Interferenz:
Aus Experimenten erkennen wir, dass das Superpositionsprinzip auch für Wellen gilt.
Sie überlagern sich ungestört, durchdringen sich, ohne ihre Ausbreitungsrichtung zu ändern.
Treffen Sie aufeinander, so werden die Elongationen und Schnellen addiert.

a) Überlagerung gleichlaufender Wellen

Wir betrachten 2 Wellen gleicher Frequenz, die dieselbe Ausbreitungsrichtung haben.

An jedem Punkt auf dem Wellenträger haben wir es mit der Überlagerung zweier Schwingungen zu tun.

Wir reden von konstruktiver Interferenz, wenn sich die Amplituden addieren, also bei einer Phasenverschiebung von j = 0, 2p, 4p, 6p, ... (in Phase)
Dieser Phasenbeziehung entspricht ein Gangunterschied (=Verschiebung der Wellen gegeneinander in der räumlichen Darstellung) d = 0, l, 2l, 3l, ...
Wir reden von destruktiver Interferenz, wenn die Amplituden subtrahiert werden (evtl. sich sogar auslöschen), also bei einer Phasenverschiebung von j = p, 3p, 5p, ... (gegenphasig)
Dieser Phasenbeziehung entspricht ein Gangunterschied (=Verschiebung der Wellen gegeneinander in der räumlichen Darstellung) d = l/2, 3l/2, 5l/2, ...

b) Überlagerung entgegenlaufender Wellen

Wir betrachten 2 Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude, die entgegengesetzte Ausbreitungsrichtung haben.

Untersuche mit dem Simulationsprogramm Wellen das Verhalten des Wellenträgers (im Menüpunkt "Wellen" mit den Punkten "Hinwelle", "Gegenwelle" und "Resultierende" arbeiten).

Wir haben daraus und aus Experimenten erkannt:

An jedem Punkt auf dem Wellenträger haben wir es mit einer derartigen Überlagerung zweier Schwingungen zu tun, die das Wellenbild "einfrieren"; es ist bei der resultierenden Welle keine Ausbreitung mehr zu erkennen: Eine stehende Welle hat sich gebildet.
An einigen Stellen bewegen sich die Teilchen gar nicht: ein "Schwingungsknoten".
Die anderen Teilchen schwingen harmonisch hin und her (eine Funktion der Art sin(wt) )
Genau in der Mitte zwischen zwei Knoten schwingen die Teilchen besonders heftig: ein "Schwingungsbauch".
Die maximale Elongation der Teilchen ist eine Funktion der Art sin(kx)
Der Abstand zweier Knoten ist gerade eine halbe Wellenlänge, l/2.
Alle Teilchen zwischen zwei Knoten schwingen in Phase, erreichen gleichzeitig ihr Maximum bzw. ihren Nulldurchgang.
Wenn alle Punkte gerade maximal ausgelenkt sind, sind alle Teilchen für einen Moment in Ruhe.
Die Energie ist als Spannenergie gespeichert.
Wenn alle Punkte gerade ihren Nulldurchgang haben, ist der Wellenträger zwar überall Null ausgelenkt, aber alle Teilchen besitzen maximale Schnelle.
Die Energieform ist kinetische Energie.
Da c = 0 ist, wird auch keine Energie transportiert, sie bleibt am Ort.

c) Stehende Wellen durch Reflexion an einem Ende

Wird eine Welle (nur) an einem Ende reflektiert, so bildet sich immer eine stehende Welle aus, da wir es wie in (b) mit der Interferenz entgegenlaufender Wellen gleicher Frequenz zu tun haben.

An einem festen Ende ist ein Schwingungsknoten (dort ist ja ein Phasensprung von p, also Auslöschung).
Bei Longitudinal-Wellen entspricht dies einem Druckbauch.
An einem losen Ende ist ein Schwingungsbauch.
Bei Longitudinal-Wellen entspricht dies einem Drucknoten.

Aufgabe: Wie können wir mit einem Lautsprecher, der einen Sinus-Ton gegen eine Wand abstrahlt, und einem Mikrofon die Schallgeschwindigkeit bestimmen (ohne Stoppuhr o.ä.)?

d) Stehende Wellen durch Reflexion an zwei Enden

Hier bilden sich viele Hin- und Zurück-Wellen aus, die sich alle überlagern. Nur in Sonderfällen bildet sich eine stehende Welle aus. Bei bestimmten Frequenzen, den Eigenfrequenzen, die von der Länge des Wellenträgers abhängen, ist eine stehende Welle mit einem, zwei, ... Knoten zu erkennen.

bei zwei festen Enden (= 2 Knoten) gilt:

Bäuche Knoten Wellenlänge Frequenz Eigenschwingung Musik-Name
1 2 l= 2 l f₀ = c/(2l) Grundschwingung 1. Harmonische
2 3 l= l f₀ =2* c/(2l) 1. Oberschwingung 2. Harmonische
3 4 l= 2/3 * l f₀ = 3 * c/(2l) 2. Oberschwingung 3. Harmonische
k k+1 l= 2/k * l f₀ = k * c/(2l) (k-1). Oberschwingung k. Harmonische

bei zwei losen Enden (= 2 Bäuchen) ergeben sich dieselben Werte - nur Bäuche und Knoten sind vertauscht.

Bäuche Knoten Wellenlänge Frequenz Eigenschwingung Musik-Name
2 1 l= 2 l f₀ = c/(2l) Grundschwingung 1. Harmonische
3 2 l= l f₀ =2* c/(2l) 1. Oberschwingung 2. Harmonische
4 3 l= 2/3 * l f₀ = 3 * c/(2l) 2. Oberschwingung 3. Harmonische
k+1 k l= 2/k * l f₀ = k * c/(2l) (k-1). Oberschwingung k. Harmonische

bei einem festen und einem losen Ende (= 1 Knoten und 1 Bauch) gilt:

Bäuche Knoten Wellenlänge Frequenz Eigenschwingung Musik-Name
1 1 l= 4 l f₀ = c/(4l) Grundschwingung 1. Harmonische
2 2 l= 4/3 * l f₀ =3* c/(4l) 1. Oberschwingung 2. Harmonische
3 3 l= 4/5 * l f₀ = 5 * c/(4l) 2. Oberschwingung 3. Harmonische
k k l= 4/(2k-1)*l f₀=(2k-1)*c/(4l) (k-1). Oberschwingung k. Harmonische