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Ableitungsregeln
und Differentialgleichung
1.
Ableitungen
a) Die wichtigsten Ableitungen:
|
f
(x) |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f
’(x) |
0 |
1 |
2x |
n
xn-1 |
-1/x² |
-n
x-n - 1 = |
½
x-½ =
|
k
xk-1 |
cos
(x) |
-sin
(x) |
b) Ableitungsregeln:
Summen- und
Faktorregel:
[ c
u(x) + d v(x) ] ‘ = c u’(x) + d v’(x)
Bsp.: f(x) = 2 x² - 3 x³;
f ‘(x) = 4 x - 9 x²
Produktregel:
[
u(x) v(x) ] ‘ = u’(x) v(x) + u(x) v’(x)
Bsp.: f(x) = x² sin(x);
f ‘(x)= 2 x sin(x) + x² cos(x)
Quotientenregel:
[ u(x) / v(x) ] ’ = [u’(x) v(x) - u(x) v’(x)] / v²(x)
Bsp.: f(x) = x³ / (x² - x);
f ‘(x) = [3x² (x² -x) - x³ (2x -1)] / (x² - x)²
Kettenregel: [u(v(x))] ‘ = u’(v(x)) v’(x)
Bsp.: f(x) = (x³ -2x²)7
f ‘(x) = 7(x³ -2x²)6 (3x² -4x)
f(x) = sin(x²)
f ’(x) = cos(x²) 2x = 2x cos(x²)
2.
Differentialgleichungen
Vorbemerkung:
1.
In der 11. Klasse mussten Aufgaben folgender Art gelöst
werden:
Gegeben ist eine Funktion f(x) = x²+1.
Gesucht sind die Werte x, für die der Funktionswert 10 ist. (x = +/- 3)
2.
Daneben gab es aber auch Aufgaben, in denen aus
bestimmten Angaben eine Funktion gesucht werden sollte:
Welche lineare Funktion verläuft
durch die Punkte (0|0) und (1|2)? (
f(x) = 2x)
Nun suchen wir ebenfalls Funktionen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. In diesen Bedingungen werden Aussagen über die Ableitungen der gesuchten Funktion gemacht. Diese Bedingungen heißen dann Differentialgleichungen (DGL).
Bedingung (für alle x!!) |
Eine Lösung |
Allgemeine Lösung |
|
f
‘(x) = 0 |
f
(x) = 4 |
f
(x) = c (c beliebige Konstante) |
|
g
‘(x) = 3 |
g(x)
= 3x |
g(x)
= 3x + c |
|
h
‘(x) = 5x |
h(x)
= 2,5x² |
h(x)
= 2,5x² + c |
|
i
‘‘(x) = 0 |
i(x)
= 2x |
i(x)
= c x + d (c, d bel.
Konstanten) |
|
j
’’(x) = -j(x) |
.. |
.. |
|
k
‘‘(x) = -4 k(x) |
.. |
.. |
|
m
’ (x) = m(x) |
.. |
.. |
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