Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: EM Schwingungen

EM Schwingungen - Energieerhaltung

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Vergleiche mit dem Nachweis beim vertikalen Federpendel:

Zu zeigen: Die Gesamtenergie ist konstant, also unabhängig von der Zeit:
W_ges = W_magn + W_el = const.

In Schalter-Stellung 1 gilt:
                            U_C(0) = Û = U₀

Allgemein gilt:
                            sin²(x) + cos²(x) = 1
(Nachweis über Additionstheoreme - überprüfe für verschiedene Werte mit dem Taschenrechner)

Es gilt die Thomsonsche Schwingungsformel:
                            w=1/Ö(LC) Þ = 1/(LC)

Wir haben in Schalterstellung 2 die Anfangsbedingung (bei t = 0): maximale Aufladung von C

Damit ergeben sich folgende Schwingungen:
                            U_C(t) = Û cos(wt)
                            Q(t) = C U_C(t) = - C Û cos(wt)
                            I(t) = Q'(t) = - C Û w sin(wt)

Für die magnetische Energie in der Spule ergibt sich dann:
                            W_mag = ½ L I(t)²
                                    = ½ L C² Û²w² sin²(wt)
                                    = ½L C² Û²/(LC) sin²(wt)
                                    = ½ C Û² sin²(wt)

Für die elektrische Energie im Kondensator ergibt sich:
                            W_el = ½ C U_C(t)²
                                    = ½ C Û² cos²(wt)

Dies setzt man in die Formel für die Gesamtenergie ein:
                            W_ges = ½ C Û² sin²(wt) + ½ C Û² cos²(wt)
                                     = ½ C Û² ( sin²(wt) + cos²(wt) ) = ½ C Û²

Dies ist unabhängig von der Zeit - qed!

Zusatz: Falls wir noch den Widerstand berücksichtigen müssen, ergibt sich eine gedämpfte Schwingung, bei der die Gesamtenergie wegen P_Verlust = R I²(t) ständig abnimmt.