Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Induktion

Induktion - Selbstinduktion

Selbstinduktion | Energie im Magnetfeld
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6.) Selbstinduktion

Exp.: Das verspätete Lämpchen

Aufbau: Spannungsquelle mit U₁
Parallel liegen:
Spule und Lämpchen L1
Regelbarer Widerstand R und Lämpchen L2

Vorbereitung: R wird so eingeregelt, dass beide Lämpchen gleich hell brennen. Damit fließt in beiden Ästen die gleiche Stromstärke I.
Also ist in beiden Kreisen der Ohmsche Widerstand gleich groß.

Durchführung: Der geöffnete Schalter wird geschlossen.

Beobachtung: Das Lämpchen L1 bei der Spule leuchtet erst mit Verspätung auf, während L2 sofort brennt.

Erklärung: Durch den Einschaltvorgang wird in der Spule eine Induktionsspannung erzeugt, die ihrer Ursache, dem Stromanstieg beim Einschalten, entgegenwirkt, den Anstieg also abbremst.

Genauer: U Þ I Þ B: ein ansteigendes B-Feld (parallel zur Spulenachse) ist kreisförmig von einem elektrischen Wirbelfeld umgeben, das auf die Elektronen der Spule wirkt. Gemäß dem Lenzschen Gesetz fließt dadurch ein Induktionsstrom, der seiner Ursache entgegenwirkt, als ein B-Feld in umgekehrter Richtung - also entgegengesetzte Stromrichtung - erzeugt.

Die Feldspule ist hier zugleich Induktionsspule!!!!

In Formeln: Induktionsspannung: U_ind= - n B' A = - n ( m₀ m_rn/l I'_err) A = - n ( m₀ m_rn/l A) I'_err

Es gibt einen linearen Zusammenhang zwischen Induktionsspannung und Stromveränderung.
Die Proportionalitätskonstante nennen wir Eigeninduktivität L:
                                        L = U_ind(t)/I'(t); [L] = 1 Vs/A = 1 Henry
Somit gilt:                        U_ind(t) = - L I'(t)
Für eine lange Spule lässt sich die Eigeninduktivität aus den Spulendaten berechnen
                                       L = m₀ m_r n²/l A

Noch genauer: Wollen wir dieses Experiment - und insbesondere das Verhalten des "verspäteten Lämpchens", also den Stromverlauf im Spulenast, richtig verstehen, müssen wir wieder die Mathematik bemühen:

Im Spulenast des Stromkreises liegt die äußere Spannung U₁ an.
Die Spule erzeugt die Induktionsspannung U_ind.
Also liegt am zweiten Lämpchen L2 (im Spulenast) die Gesamtspannung
                                                        U(t) = U₁ + U_ind(t) = U₁ - L I'(t)    (1)
Folglich fließt im Lämpchen der Strom I(t) = U(t)/R = (U₁ - L I'(t))/R     (2)
Der Stromanstieg beträgt folglich: I'(t) = (U₁ - R I(t))/L    (3)

Zum Zeitpunkt t = 0 gilt:
Da I(0) = 0 folgt aus (2) / (1):
U(0) = 0 Þ U_ind(0) = - U₁
Die Induktionsspannung kompensiert die äußere Spannung.
Aus (3): I'(0) = U₁/L > 0. Ein maximaler Stromanstieg.

Für t > 0: Der Strom I(t) steigt stark an,
damit wird aber zugleich der Stromanstieg kleiner ...: I'(t) ® 0,
damit nähert sich der Strom I ® U₁/R,
(was im oberen Ast sofort anlag)

Bemerkung: Aus dem Schaubild I(t) kann man somit den Widerstand R und die Eigeninduktivität L berechnen:

	Aus dem Grenzwert des Stroms kann man R bestimmen: R = U₁/I_¥
	Aus der Tangente im Ursprung kann man L bestimmen: L = U₁/I'(0)

Exakte Lösung für I(t): Die Gleichungen (2) bzw. (3) stellen Differentialgleichungen für I(t) dar.
Sie haben die Lösung: (Asympt. Annäherung von 0 nach U₁/R)
(Asympt. Annäherung von U₁/L nach 0)

Ausschaltvorgang: Beim Ausschalten verhindert die Spule ein sofortiges Zusammenbrechen des Stromes: Das Lämpchen brennt länger.
Also liegt am zweiten Lämpchen L2 (im Spulenast) die Gesamtspannung
U(t) = 0 + Uind(t) = - L I'(t) (1) (keine äußere Spannung)
Folglich fließt im Lämpchen der Strom I(t) = U(t)/R = - L I'(t)/R (2)
Der Stromanstieg beträgt folglich: I'(t) = - I(t) R/L (3)

Hier hat die DGL die Lösung:
(Asympt. Annäherung von U₁/R nach 0)
(Asympt. Annäherung von -U₁/L nach 0)

7.) Energie im Magnetfeld

Eine Spule, die nach dem Ausschalten noch die Spannung U_ind(t) und somit den Strom I(t) induziert, gibt folgende elektrische Leistung ab: P(t) = U_ind(t) I(t) = - L I'(t) I(t)

Welche Energie gibt sie dabei ab?

Allgemein gilt: P = W'(t) bzw. W = ò P dt

Gesucht ist also die Stammfunktion von P, also W:
Für W = - ½ L I²(t) ergibt sich: P = W'(t) = - ½ L 2 I(t) · I'(t) = - L I(t) I'(t) (mit Kettenregel).

Damit beträgt die gesamte von der Spule gespeicherte Energie:
Da zu Beginn I(0)=I₀ maximal ist, und dann der Strom gegen Null geht, war in der Spule somit die magnetische Energie W_mag = ½ L I₀² gespeichert.

Wo steckt diese Energie?

Eine Spule, durch die der Strom I fließt, erzeugt ein B-Feld.
In diesem magnetischen Feld ist die Energie gespeichert: W = ½ L I²

Analog: ein Kondensator, an dem die Spannung U anliegt, hat die Energie W = ½ C U² im elektrischen Feld gespeichert.

Abituraufgaben: 89/3: (a), (b) ohne Effektivwert; 90/4 (a); (c): Verspät. Lämpchen; 95/4 (a): Hallsonde (b): Einschalten; 96/4 (a): Lorentz; (b): Einschalten; (c): schwer; 97/4 (c): schwer; 98/4 ganz!!!