Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Wechselstrom

Wechselstrom - weitere RCL-Kreise

RL| RC | RCL (Siebkette) | RCL (Sperrkreis)

7.) RL - Kreis

Gegeben: Wechselspannung U(t) = Û sin(wt) liegt an einem Stromkreis mit Widerstand R und Spule L an.

Gesucht: Wie verläuft der Strom I(t)?

Ansatz: Zu jedem Zeitpunkt t gilt: U(t) = U_R(t) + U_L(t).
Û Û sin(wt) = R I(t) + L I'(t) (*)

Klar ist:

Der Strom hat folgende Form: Î sin(wt-j).

Die Spannung am Widerstand U_R(t) = R I(t) = R Î sin(wt-j)
ist mit I(t) in Phase und
hat die Amplitude Û_R = R Î.

Die Spannung an der Spule U_L(t) = L I'(t) = w L Î cos(wt-j)
ist gegenüber I(t) um p/2 nach links verschoben,
hat die Amplitude Û_C= X_L Î (mit X_L = w L)

Wir suchen die Phasenverschiebung und die Amplitude des Stromes.

Wir untersuchen die Gleichung (*) im Zeigerdiagramm:
Der kurze Zeiger hat die Länge Û_R, der lange Zeiger die Länge Û_L, die Diagonale stellt dann Û dar: Û = Ö(Û_R² + Û_L²)= Ö((RÎ)² + (X_LÎ)²) = Î Ö(R² + X_L²)

Das Verhältnis der Amplituden nennen wir Scheinwiderstand: Z = Û/Î = Ö(R² + X_L²)

Die Phasenverschiebung j der Diagonalen (also U(t)) gegenüber U_R(t) (und damit I(t)) ergibt sich durch: tan(j) = Û_L/Û_R = (X_LÎ)/(R Î), also: tan(j) = X_L/R

Ergebnis: Der Strom I(t) verläuft sinusförmig mit: I(t) = Û/Z sin(wt-j).

Bem.: Der Scheinwiderstand Z ist minimal, wenn X_L = 0 ist, also bei f = 0Hz. Für größere Frequenzen steigt der Scheinwiderstand an! (Tiefpass)

8.) RC - Kreis

Gegeben: Wechselspannung U(t) = Û sin(wt) liegt an einem Stromkreis mit Widerstand R und Kondensator C an.

Gesucht: Wie verläuft der Strom I(t)?

Ansatz: Zu jedem Zeitpunkt t gilt: U(t) = U_R(t) + U_C(t).
Û Û sin(wt) = R I(t) + Q(t)/C (*)

Klar ist:

Der Strom hat folgende Form: Î sin(wt+j).

Die Spannung am Widerstand U_R(t) = R I(t) = R Î sin(wt+j)
ist mit I(t) in Phase und
hat die Amplitude Û_R = R Î .

Die Spannung am Kondensator U_C(t)= Q(t)/C = -Î/(wC) cos(wt+j)
ist gegenüber I(t) um p/2 nach rechts verschoben,
hat die Amplitude Û_C= X_C Î (mit X_C = 1/(w C) )

Wir suchen die Phasenverschiebung und die Amplitude des Stromes.
Wir untersuchen die Gleichung (*) im Zeigerdiagramm: Û = Ö(Û_R² + Û_C²)= Ö((RÎ)² + (X_CÎ)²) = Î Ö(R² + X_C²)
Das Verhältnis der Amplituden nennen wir Scheinwiderstand: Z = Û/Î = Ö(R² + X_C²)
Die Phasenverschiebung der Diagonalen (also U(t)) gegenüber U_R(t) (und damit I(t))
ergibt sich durch: tan(j) = Û_C/Û_R = (X_CÎ)/(R Î), also: tan(j) = X_C/R

Ergebnis: Der Strom I(t) verläuft sinusförmig mit: I(t) = Û/Z sin(wt-j).

Bem.: Der Scheinwiderstand Z ist klein, wenn X_C klein ist, also bei großen Frequenzen. Für niedrigere Frequenzen steigt der Scheinwiderstand an! (Hochpass)

9.) RCL - Kreis (in Reihe): Siebkette

Gegeben: Wechselspannung U(t) = Û sin(wt) liegt an einem Stromkreis mit Widerstand R, Spule L und Kondensator C (alle in Reihe) an.

Gesucht: Wie verläuft der Strom I(t)?

Ansatz: Zu jedem Zeitpunkt t gilt: U(t) = U_R(t) + U_L(t) + U_C(t)
Û Û sin(wt) = R I(t) + Q(t)/C + L I'(t) (**)

Klar ist:

	Der Strom hat folgende Form: Î sin(wt-j),.
	Die Spannung am Widerstand U_R(t) = R I(t) = R Î sin(wt-j), ist mit I(t) in Phase und hat die Amplitude Û_R = R Î.
	Die Spannung an der Spule U_L(t) = L I'(t) = w L Î cos(wt-j) ist gegenüber I(t) um p/2 nach links verschoben und hat die Amplitude Û_L = X_LÎ.
	Die Spannung am Kondensator U_C(t)= Q(t)/C = -Î/(wC) cos(wt-j) ist gegenüber I(t) um j = p/2 nach rechts verschoben und hat die Amplitude Û_C = X_CÎ.

Wir suchen die Phasenverschiebung und die Amplitude des Stromes.
Wir untersuchen die Gleichung (**) im Zeigerdiagramm:

Zuerst suchen wir die resultierende Spannung aus den Zeigern Û_L und Û_C: Û_Res = Û_L- Û_C.
Dann bilden wir die Summe aus U_R(t) und U_Res(t):
Die Diagonale stellt dann Û dar:

Dabei heißt X = Û_Res/Î = X_L- X_C resultierender Blindwiderstand
Damit ergibt sich das Verhältnis der Amplituden, das wir Scheinwiderstand nennen: Z = Û/Î = Ö(R² + X²) = Ö(R² + (X_C-X_L)²).
Die Phasenverschiebung j der Diagonalen (also U(t)) gegenüber U_R(t) (und damit I(t)) ergibt sich durch:
tan(j) = (Û_L- Û_C)/Û_R = (X_LÎ - X_CÎ)/(RÎ) , also: tan(j) = (X_L-X_C)/R
Der Strom I(t) verläuft sinusförmig mit: I(t) = Û/Z sin(wt-j).

Konsequenzen: Für eine bestimmte Kreisfrequenz w₀ wird der Scheinwiderstand Z möglichst klein: Z = min. Û X = 0 Û 0 = w₀L - 1/(w₀C) Û w₀²= 1/(LC)

Wir nennen w₀ = 1/Ö(LC) die Resonanzfrequenz.

Dort ist der resultierende Blindwiderstand X = 0, d. h. kapazitiver und induktiver Blindwiderstand sind gleich groß: X_L=X_C. Damit ist der Scheinwiderstand gerade der ohmsche Widerstand: Z = R, die Stromamplitude also maximal und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung j = 0.

Andere Frequenzen führen zu größerem Z, die Stromamplitude sinkt, sie werden "ausgesiebt". Damit stellt der R-L-C-Kreis ein Frequenzfilter dar.

10.) (R)CL - Kreis (parallel): Sperrkreis

Gegeben: Wechselspannung U(t) = Û sin(wt) liegt an einem Stromkreis mit Widerstand R, Spule L und Kondensator C an; der Kondensator liegt parallel zur Spule.

Gesucht: Wie verläuft der Strom I(t)?

Ansatz: Da L und C parallel liegen, liegen an beiden dieselben Spannungen U₁(t) an.

	Die Spannung an der Spule U₁(t) = L I_L'(t) ist gegenüber I_L(t) um p/2 nach links verschoben und hat die Amplitude Û₁ = wL Î_L.
	Die Spannung am Kondensator U₁(t) = Q_C(t)/C ist gegenüber I_C(t) um p/2 nach rechts verschoben und hat die Amplitude Û₁ = Î_C/(wC).
	Immer gilt also (bei R_L» 0): I_L ist gegenüber I_C (fast) um p verschoben.

Im Resonanzfall w₀ = 1/Ö(LC) gilt außerdem 1/(w₀C) = w₀L, also auch Î_C = Î_L; damit kompensieren sich die beiden Ströme im Parallelkreis, es fließt insgesamt kein Strom: