Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Magnetfeld - Einführung von - lange Spule

1.) Definition der magnetischen Flussdichte B

Die elektrische Feldstärke ist definiert über die Kraft auf eine Probeladung: E = F/q

Da wir keine magnetischen Monopole zur Verfügung haben und auch kein Maß für die Stärke von Magneten haben, kann die magnetische Flussdichte B nur über die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter definiert werden. Da wir dort die Proportionalität zwischen Lorentzkraft und Stromstärke sowie Leiterbreite nachgewiesen haben, wählen wir die Proportionalitätskonstante:

Definition: Die magnetische Flussdichte B ist durch die Kraft auf einen vom Strom I durchflossenen Leiter der Länge s, der senkrecht zu den magnetischen Feldlinien steht, definiert:
B = F/(I s); [B] = 1 N/(Am) = 1 T(esla)

Bem. 1: Damit lässt sich die Stärke des B-Feldes bestimmen. Da diese Größe auch eine Richtung hat, wird B durch einen Vektor angegeben in Richtung der Magnetfeldlinien: .

Bsp. : Bei einer Stromstärke von 0,5 A und einem Leiter der Breite 10 cm mit 50 Windungen - somit ergibt sich eine effektive Breite des Leiters von 5,0 m - zeigt der Kraftmesser 0,05 N an. Damit lässt sich das Magnetfeld berechnen:
B = 0,05 N / (0,5 A · 5,0 m) = 0,02 T = 20 mT

Bem. 2: Bei bekanntem B-Feld lässt sich die Lorentzkraft auf einen Leiter berechnen: F_L = B · I · s

Bem. 3: Auf ein Teilchen der Ladung q, das sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zum B-Feld bewegt, wirkt ebenso die Lorentzkraft: F_L = B · q · v
Beweis: F_L = B · I · s = B · q/t · s = B · q · s/t = B · q · v

2.) Messmethoden für B

(i) Stromdurchflossener Drahtrahmen (der Breite s) mit Kraftmesser (F) und Strommessgerät (I):
B- Feld: in die Blattebene hinein (grau skizziert)
rechter Leiter: Kraft nach rechts (Drei-Finger-Regel); linker Leiter: Kraft nach links; Beide Kräfte kompensieren sich gerade, da B, I und s jeweils gleich groß sind!
unterer Leiter: erfährt Kraft nach unten, die von einem Kraftmesser gemessen wird Þ B

ii) Hallsonde: ein Metallband oder ein n-Halbleiter (n wie negativ: enthält freie Elektronen) der Höhe h wird senkrecht zum B-Feld (von vorne nach hinten) von einem Strom (von links nach rechts) durchflossen.
Dabei wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft nach unten: F_L = B · q · v
Unten entsteht somit ein Elektronenüberschuss, zwischen oben und unten somit eine (Hall-) Spannung. Diese Spannung wächst,
bis die dadurch verursachte elektrische Kraft F_el = q · U/h
genauso groß wie die Lorentzkraft ist: F_L = F_el Þ B · q · v = q · U/h Þ
U_Hall = h · v · B Þ U_Hall ~ B
(Die Geschwindigkeit der Elektronen ist normalerweise nicht bekannt!)
Diese Spannung kann einfach gemessen und daraus - einmal kalibriert ("geeicht" - mithilfe eines bekannten Magnetfeld z. B. der Stärke 20 mT: dort ergibt sich z. B. die Spannung 50 mV, so dass somit z. B. 10 mV der magnetischen Flussdichte 4 mT entspricht) - B bestimmt werden.

Bem. 4: Da nur die Bewegung senkrecht zu den Feldlinien bei der Lorentzkraft zu berücksichtigen ist, wird umgekehrt nur das B-Feld senkrecht zu Kraft und Stromrichtung, also senkrecht zu Drahtrahmen bzw. Hallsonde, bestimmt: B_s.

Folgerung: Ein Leiter der Länge s mit Strom I erfährt in einem Magnetfeld, bei dem die Komponente B_s senkrecht zum Leiter steht, die Kraft: F_L = B_s · I · s
Ein Ladungsteilchen mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v erfährt in einem Magnetfeld, bei dem die Geschwindigkeitskomponente v_s senkrecht zum B-Feld steht, die Kraft: F_L = B · v_s · q

Bem. 3: Stehen B und s im Winkel a zueinander, lässt sich B_s so berechnen: B_s = B sin(a)

3.) Das Magnetfeld einer langen Spule

Analog zum Plattenkondensator (statt E = F_el/q lässt sich einfacher mit E = U/d die elektrische Feldstärke bestimmen) suchen wir für den Sonderfall des homogenen Magnetfeld einer langen Spule nach einer einfacheren Formel zur Berechnung der Flussdichte.

Experiment: Wir untersuchen das Magnetfeld einer langen Spule (Länge l groß im Vergleich zum Durchmesser d), die von einem (Erreger-)Strom I_Err durchflossen wird und n Windungen besitzt. Wir bestimmen die Stärke des B-Feldes über eine Hallsonde oder über eine Leiterschleife.

Wir variieren die Erregerstromstärke der Spule. B ~ I_Err

Wir untersuchen den Einfluss des Durchmessers. Er hat keinen Einfluss auf die Flussdichte (solange das Feld noch homogen ist, also l um einiges größer als d ist)

Wir variieren die Wicklungsdichte n/l der Spule: B ~ n/l

Zusammengefasst ergibt sich: B ~ n/l · I_Err

Die Proportionalitätskonstante heißt magnetische Feldkonstante m₀:
m₀ = 1,257 · 10^-6 Vs/(Am) = 4 · p · 10^-7 Tm/A
Sie ist wie e₀ eine Naturkonstante. Jene beschreibt den Zusammenhang zwischen Ladungen und E-Feld, diese den Zusammenhang zwischen Stromstärke und B-Feld.

Für eine lange Spule gilt: B = m₀ · n/l · I_Err
mit Windungszahl n, Spulenlänge l, Stromstärke I_Err

Bsp.: Mit n = 18 000, l = 0,5 m und I_Err = 0,05 A ergibt sich
B = 1,257 · 10^-6 Vs/(Am) · 18000 / 0,5 m · 0,05 A = 2,2 mT

4.) Magnetfeld und Materie

Analog zu den Dielektrika im E-Feld verändert sich die magnetische Flussdichte von Spulen, wenn diesen mit Materie gefüllt sind.

Wir definieren: m_r = B_Materie / B_Vakuum

Folgerung: Bei einer langen Spule mit z. B. einem Eisenkern gilt: B = m₀ · m_r · n/l · I_Err.

Stoffe mit m_r >> 1 heißen ferromagnetisch (Fe, Co, Ni sowie Legierungen ...). Die Elementarmagnete dieser Stoffe werden durch das äußere Magnetfeld ausgerichtet und verstärken es dadurch. m_r ist dabei keine Konstante sondern hängt von der Stärke des äußeren Magnetfeldes ab (Hysterese-Kurve) - m_r wächst bis zu einem "Sättigungswert", bei dem dann alle Elementarmagnete ausgerichtet sind.

Insbesondere für den Einsatz bei Wechselstrom ist es von Bedeutung, "magnetisch weiches" Material wie Eisen einzusetzen, das beim Umpolen der Strom- und damit des äußeren Magnetfeldrichtung leicht die Magnetisierung "umklappen" kann. ("Magnetische harte" Stoffe eignen sich dagegen als Permanentmagnet!)

5.) Das Erdmagnetfeld

Das Magnetfeld der Erde besitzt folgende Eigenschaften:

Die Kompassnadel zeigt nach Norden, so dass dort ein magnetischer Südpol ist.
Der magnetische Südpol befinden sich nicht genau am geographischen Nordpol sondern im Norden Kanadas, so dass es bei der Kompassnadel zu einer Missweisung kommt - Deklination genannt.
Die Magnetfeldlinien treten an den Polen senkrecht aus der Erde heraus, am Äquator verlaufen sie horizontal, allgemein haben sie den Inklinationswinkel i zur Erdoberfläche. Für die Horizontalkomponente des Magnetfeldes gilt: B_hor. = B · cos(i)
In Experimenten müssen wir eventuell das Erdmagnetfeld mit berücksichtigen. Wir können dessen Stärke z. B. mit einer Spule in Ost-West-Richtung bestimmen, in die wir eine Kompassnadel stellen. Ihre Ausrichtung wird durch die Überlagerung der Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes (Nord-Süd) mit dem Spulenfeld (Ost-West) bestimmt.
Ursache des Erdmagnetfeldes ist kein "Dauermagnet" im Erdkern (dort ist es zu heiß) sondern Ströme im Erdinnern.
Die Magnetpole verändern ihre Lage im Laufe der Zeit.
Auch ein Umklappen der Pole lässt sich in größeren Zeiträumen nachweisen.
Das Erdmagnetfeld hat eine wichtige "Sicherheitsfunktion" für das Leben auf der Erde. Energiereiche geladene Teilchen aus dem Weltraum werden abgefangen (und zu den Magnetpolen geleitet, wo sie z. B. für das Polarlicht verantwortlich sind bzw. im Van-Allen-Gürtel in großer Höhe gespeichert, der für die Raumfahrt Gefahren birgt).
Das Magnetfeld der Erde wird auf der sonnenzugewandten Seite vom "Sonnenwind" zusammengedrängt und reicht auf der abgewandten Seite weit in den Weltraum hinaus.

6.) Zusammenfassung

Lorentzkraft auf einen Leiter im Magnetfeld: F_L = B_s · I · s
Die Richtung wird durch die Drei-Finger-Regel festgelegt.
Lorentzkraft auf ein geladenes Teilchen im Magnetfeld: F_L = B · v_s · q
Magnetfeld einer langen Spule: B = m₀ · n/l · I_Err
(n Windungen, Länge l, Stromstärke I_Err, m₀ = 1,257 · 10^-6 Vs/(Am) )
Hallspannung: U_Hall = h · v · B