Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Induktion

Induktion - Faraday-Gesetz

Induktionsgesetz | Magnetischer Fluss | Flächenänderung | Magnetfeldänderung | Lenzsches Gesetz
Zum Ausdrucken: PDF-Datei

1.) Faradays Induktionsgesetz

Die zentrale Formel dieser Einheit wurde von Michael Faraday in der folgenden Form geschrieben:

Faradays Induktionsgesetz: U_induziert(t) = - n F'(t)

Wir werden uns dem Verständnis dieser Formel schrittweise nähern.

2.) Der magnetische Fluss F

Faraday definierte folgende Größe und bezeichnet sie als magnetischen Fluß:

Wird eine Fläche A_s senkrecht von magnetischen Feldlinien eines konstanten B-Feldes durchsetzt, so ist der magnetische Fluss durch folgende Gleichung gegeben: F = B A_s [F] = 1 Tm²

Faraday beschrieb diese Größe sehr anschaulich als Feldlinienzahl:

	je größer B, desto "dichter" liegen die Feldlinien;
	je größer die senkrechte Fläche, desto mehr Feldlinien liegen darin;

Bsp.: Eine kreisförmige Leiterschleife mit Durchmesser 10 cm wird von einem B-Feld der Stärke 0,5 T senkrecht / parallel / im Winkel von 45° durchsetzt: A = p r² » 0,00785 m²

	senkrecht: A_s = A Þ F = B A = 3,9 mT m²
	parallel: A_s = A Þ F = 0
	45°: A_s = A cos(45°) Þ F = B A cos(45°)= 2,8 mT m²

Faradays Induktionsgesetz begründet somit die Entstehung einer Induktionsspannung in einer Leiterschleife mit der Änderung der Feldlinienzahl, also mit der Ableitung des magnetischen Flusses: F'(t).

Dabei sind gemäß der Produktregel zwei Komponenten zu unterscheiden:
U_induziert(t) = - n F'(t) = - n ( B'(t) A_s(t) + B(t) A_s'(t) )
Induktionsspannung entsteht aufgrund von Magnetfeldänderung
Induktionsspannung entsteht aufgrund von Flächenänderung

3.) Induktion durch Flächenänderung

In einem magnetischen Feld B werden folgende Experimente durchgeführt.

Exp. 1: Ein Leiter wird auf einer Schiene senkrecht zu B bewegt.

Exp. 2: Eine Leiterschleife wird gedreht.

Exp. 3: Eine Leiterschleife wird aus dem B-Feld herausgezogen.

Exp. 4: Eine Leiterschleife wird vergrößert.

Jedes mal lässt sich eine Induktionsspannung mit einem Messverstärker nachweisen.

Faraday erklärt dies durch: U_induziert(t) = - B(t) A_s'(t)
(Anzahl der Windungen: n = 1)

Wir können die Induktionsspannung, die durch Bewegung von Leitern erzeugt wird, mithilfe der Lorentzkraft nachvollziehen:

zu Exp. 1: Bewegt sich ein Leiter mit der Geschwindigkeit v_s senkrecht zum B-Feld, so wirkt auf seine Elektronen die Lorentzkraft F_L = e v_s B, wobei die Kraftrichtung mit der Drei-Finger-Regel festgelegt ist.

Auf einer Leiterseite entsteht ein Elektronenüberschuss, auf der anderen ein Mangel, ein elektrisches Spannung entsteht, bis die elektrische Kraft - die durch die Spannung entsteht - die Lorentzkraft kompensiert: F_L = F_el Þ e v_s B = e U_ind/d Þ U_ind= B v_sd

Alternativ lässt sich dies durch Faradays Gesetz über Flächenänderung berechnen:

Die Fläche zwischen Leiter, Schienen und Spannungsmesser ist rechteckig und lässt sich wie folgt berechnen: A = s d: mit s(t) = s₀ - v_s t Þ s'(t) = - v_s Þ A'(t) = - v_s d Þ U_ind= - B A'(t) = B v_sd

zu Exp. 2: Wird eine Leiterschleife der Fläche A im B-Feld gedreht, so bewegen sich wiederum Elektronen im Magnetfeld und auf diese wirkt die Lorentzkraft. Kürzer geht es mit Faradays Formel: die senkrechte Fläche A_s verändert sich während der Drehung: As = A cos(a).

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit w: w = a/t Þ A_s = A cos(w t) Þ A_s'(t) = - w A sin(w t)

Also wird folgende Spannung induziert: U_ind= - B A'(t) = BA w sin(w t)

Auf diese Art wird Wechselspannung induziert!

zu Exp. 3: Eine rechteckige Leiterschleife wird senkrecht zum B-Feld bewegt: U_ind= 0, da sich die vom B-Feld durchsetzte Fläche nicht ändert. Erreicht die Leiterschleife den Rand des B-Feld, so wird die von B durchsetzte Fläche kleiner: A = s d mit s(t) = s₀ - v_s t Þ s'(t) = - v_s Þ A'(t) = - v_s d Þ U_ind= - B A'(t) = B v_sd

zu Exp. 4: wie bei 1-3 muss die Änderungsrate der Fläche bekannt sein.

Simulation 1 "Leiterschleife und Stabmagnet"
Eine Leiterschleife nähert sich dem Stabmagneten, die "Anzahl der Feldlinien", der magnetische Fluss, durch die Leiterschleife wird vergrößert, und somit wird eine Spannung induziert.
Wird die Schleife wieder herausgezogen, verringert sich der magnetische Fluss und es wird ebenfalls eine Spannung induziert - aber mit entgegengesetzter Polung.

Simulation 2 "Leiterschleife und Stabmagnet"
Nun die Umkehrung: Ein Stabmagnet nähert sich der Leiterschleife, die "Anzahl der Feldlinien", der magnetische Fluss, durch die Leiterschleife wird vergrößert, und somit wird eine Spannung induziert.
Wird der Stabmagnet wieder herausgezogen, verringert sich der magnetische Fluss und es wird ebenfalls eine Spannung induziert - aber mit entgegengesetzter Polung. Damit kommen wir zum zweiten Teil von Faradays Gesetz:

4.) Induktion durch Magnetfeldänderung

Bsp. 1: Der Sonnenwind verändert das Magnetfeld der Erde und kann "magnetische Stürme" verursachen. Dadurch kann es zu Induktionsphänomenen in Überlandleitungen kommen - im Extremfall 5 V/ km!

Bsp. 2: Ein Dauermagnet nähert sich rasch einer Leiterschleife: ein Messverstärker registriert einen Spannungsstoß.

Faraday erklärt dies durch: U_ind= - B'(t) A

Exp.: In einer großen Feldspule (n=16 000; Querschnitt A = 35 cm²; Länge l = 30 cm) befindet sich eine kleine Induktionsspule (n = 2000; A = 30 cm²; l = 10 cm), wobei beide Achsen parallel verlaufen.

	an die Feldspule wird ein Erregerstrom I_err = 0, 1 A angelegt, dadurch entsteht ein B-Feld: B = m₀ m_r n/l I_err. Die Induktionsspule zeigt dabei keine Spannung an, da sich das B-Feld nicht ändert.
	an der Feldspule wird der Strom konstant in 2s von 0 auf 0,1 A erhöht: B'(t) = m₀ m_r n/l I_err'(t). In diesem Fall ist die Änderung des Stroms, I_err', gerade 0,1 A/2 s. U_ind= - n_ind B'(t) A_ind = - n_ind m₀ m_r n_Feld/l_Feld I_err'(t) A_ind» -0,02 V

Um die Induktionsspannung noch zu vergrößern, kann man die Spulendaten verändern oder die Stromänderung schneller durchführen: z. B. einfach durch Ein- und Ausschalten.

Da bei diesem Induktionsphänomen die Elektronen ruhen, ist die Lorentzkraft nicht verantwortlich. In einem Experiment haben wir nachgewiesen:

zusätzlich zum E-Feld, das bei positiven Ladungen beginnt und bei negativen endet

gibt es ein elektrisches Wirbelfeld - ohne Anfang und Ende - das kreisförmig sich ändernde B-Feldlinien umgibt.

Im obigen Experiment verlaufen die B-Feldlinien achsenparallel. Da sich diese mit dem Erregerstrom ändern, bildet sich ein elektrisches Wirbelfeld, was auf die Elektronen in der Induktionsspule wirkt und dort die Induktionsspannung erzeugt.

5.) Das Vorzeichen im Faraday-Gesetz: das Lenzsche Gesetz

In (3.) wird in Exp. 1 der Leiter im B-Feld bewegt und
erzeugt dabei einen Induktionsspannung: U_ind= - B A'(t) = B v_s d.

Schließt man über einen Widerstand R kurz, fließt ein Induktionsstrom:
I_ind = U_ind/R.
Dieser Strom durchfließt wiederum den Leiter, der erfährt im B-Feld eine Kraft - beschleunigt?, ein höherer Strom?, stärkere Kraft?, noch größerer Strom ...: ein Perpetuum mobile? Dabei wäre der Energieerhaltungssatz verletzt: immer mehr Bewegungs- und elektrische Energie wird erzeugt!

Überprüfen wir mit der Drei-Finger-Regel die Kraft, die der Induktionsstrom im Leiter erzeugt: sie zeigt nach rechts, bremst den Leiter also ab, der Induktionsstrom wird also kleiner.
Der Energiesatz (EES) wird dadurch nicht verletzt.

Um die Bewegung gegen die Lorentzkraft F = I d B aufrechtzuerhalten, müssen wir
die Leistung P_mech = W/t = F s/t = F v = I d B v erbringen.

Dadurch erzielen wir im "Generator" die elektrische Leistung: P_el =U_ind I_ind = d v B I, also dieselbe, die wir gegen die Lorentzkraft mechanisch aufbringen müssen.

Als Konsequenz aus dem Energieerhaltungssatz folgt das Lenzsche Gesetz, das im Faraday-Gesetz durch das Vorzeichen beinhaltet ist:

Lenzsches Gesetz: Die Induktionsspannung ist so gepolt, dass der Induktionsstrom seiner Ursache entgegenwirkt.

In diesem Beispiel: der Induktionsstrom bewirkt eine Lorentzkraft nach rechts, die der Ursache von Strom / Spannung, der Bewegung nach links, entgegenwirkt, die Bewegung also verlangsamt!

Im Exp. in (4.) mit Feld- und Induktionsspule lässt sich dies analog anwenden.

bei einem Stromanstieg in der Feldspule wächst das B-Feld und erzeugt in der Induktionsspule eine Induktionsspannung die so gepolt ist, dass beim Kurzschließen der Induktionsstrom in der Induktionsspule ein B-Feld erzeugt, was der Ursache, dem Anstieg des B-Feldes in der Feldspule, entgegenwirkt: es ist entgegengesetzt gepolt und schwächt den Anstieg von B ab.
ist ein Stromabfall in der Feldspule die Ursache der Induktion, so ist die Polung entgegengesetzt, damit das B-Feld in der Induktionsspule zum äußerem B-Feld gleichgerichtet ist und damit dem Abfall des B-Feldes entgegenwirkt.

Technische Anwendung: Wirbelstrombremse
z. B.: Schwingt eine Metallscheibe durch einen Magnete, so werden durch die Flächenänderung Induktionsströme erzeugt, die ihrer Ursache, dem Hineinschwingen, entgegenwirken, also die Bewegung abbremst.