Physik Oberstufe im Rudolf-Web.de: Wechselstrom - Berechnung von Effektivwerten etc. mit DERIVE

1.) Leistung und Effektivwerte

Zuerst einige allgemeine Beziehungen im Wechselstromkreis mit Widerstand R:

	Spannung U(t)
	Strom I(t)
	Leistung P(t)

Die Leistung im Wechselstromkreis schwankt somit zwischen der maximalen Leistung P_max = Û/R und 0.

Interessant ist aber die Frage nach der mittleren Leistung (mit der z. B. eine Glühlampe betrieben wird). Dazu mittelt man die Leistung über eine Periode T = 2π/ω .

Dazu berechnet man für eine Periode die Fläche unter der Kurve und teilt durch die Periode (man such also ein Rechteck mit dem selbem Flächeninhalt wie die P(t)-Kurve.

Aus der Zeichnung erkennt man schon, dass die mittlere Leistung gerade die Hälfte der maximalen Leistung ist.

Nun stellt sich die Frage, welche Spannung - die sogenannte Effektivspannung - wir in einem Gleichstromkreis für dieselbe Leistung anlegen müssten.

Damit erhalten wir die effektiven Werte, indem wir die Amplituden durch Wurzel von 2 teilen.

Anwendung: In der Steckdose liegt eine Wechselspannung mit dem Effektivwert von 230 V, also hat die Spannung eine Amplitude von Û = √2 ∙ 230 V ≈ 325 V

Als nächstes betrachten wir die Leistung im C-Kreis. Dort „kommt der Strom vor der Spannung“, also ist nach links um eine viertel Periode verschoben.

Wie die unten stehende Zeichnung erkennen lässt, schwankt die Leistung um Null:

P > 0: Leistungsaufnahme, der Kondensator wird aufgeladen, Energie fließt ins E-Feld .

P < 0: Leistungsabnahme, der Kondensator wird entladen, Energie fließt zurück ins Netz.

Im Mittel ist die Leistung Null!!

Im (idealen) L-Kreis ( R = 0) ergibt sich ähnliches Bild.

Hier „kommt die Spannung vor dem Strom“, also nach linksverschoben.

Wie die unten stehende Zeichnung erkennen lässt, schwankt die Leistung um Null:

P > 0: Leistungsaufnahme, die Spule wird aufgeladen, Energie fließt ins B-Feld .

P < 0: Leistungsabnahme, die Spule wird entladen, Energie fließt zurück ins Netz.

Im Mittel ist auch hier die Leistung Null!!

Bei einer beliebigen Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung schwankt die Leistung nicht symmetrisch zur t-Achse.

Die mittlere Leistung wird mit dem Leistungsfaktor cos(φ) berechnet.

Im Ohmschen Stromkreis ist dieser Faktor 1, im reinen C- oder L-Kreis 0. (Dort spricht man auch von Blindstrom).

Bem.: Der „Normalverbraucher“ muss nur die tatsächlich genutzte Leistung bezahlen (also die mittlere Leistung).

Für Großkunden gibt es aber ein Extraentgelt, da vom Elektrizitätswerk ja auch die Leistungsspitzen aufgebracht werden müssen. Dies wird in Sonderzählern abgelesen.

2.) Phase und Amplitude im Wechselstromkreis

(Sehr viel einfacher lässt sich dies mit den Zeigerkonzept entwickeln!)

	Nachdem wir genügend Erfahrung mit DERIVE gesammelt haben, können wir nun den allgemeinen RLC- Kreis (seriell) berechnen. Ausgangspunkt für die Reihenschaltung ist stets der Strom, da an allen Bauteile stets dieselbe Stromstärke fließen muss. Die einzelnen Teilspannungen lassen sich nun jeweils aus ihren Formeln berechnen. Die anliegende Gesamtspannung verteilt sich additiv auf die Teilspannungen.
		Dies ist die Lösung von DERIVE!
Die Spannung U(t) ist eine Sinusspannung, die gegenüber der Strom verschoben ist. Die Beziehung für die Phase lässt sich über tan(φ) = (X_L - X_C)/R besser merken.
Der Zusammenhang zwischen der Spannungs- und der Stromamplitude ergibt wieder einen Widerstand. Er bekommt den Namen Scheinwiderstand Z. Eine einfachere Notation für Z: Z = √(R² + (X_L - X_C)²)

Nun können wir die Phasenverschiebung und den Scheinwiderstand in Abhängigkeit von Winkelfrequenz darstellen:

Wir erkennen, dass an der Resonanzfrequenz ein Minimum des Scheinwiderstandes vorliegt (und somit ein Maximum der Stromstärke) sowie dass dort Strom und Spannung in Phase sind.

Diese Resonanzfrequenz ergibt sich aus ω₀ = 1/√(LC) .

(Dort ist Z = R und X_L = X_C)

Bem.: Diese RLC-Reihenschaltung heißt auch Siebkette, da die Resonanzfrequenz verstärkt und die anderen Frequenzen unterdrückt („herausgesiebt“) werden.
Die ist z. B. im Radiogerät o. ä. nützlich, in dem über die Veränderung von L oder C der richtige Sender eingestellt wird.

1.) Leistung und Effektivwerte

2.) Phase und Amplitude im Wechselstromkreis

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