   
Mathematik | Skizze - DGL
| Entladen | Halbwertszeit |
Aufladen | Beispiel
| Energie in C
Zum Ausdrucken: PDF-Format (3 Seiten,
130 kB)
- Einführung der Eulerschen Zahl e = 2,71828...:
| Ihr Wert wird z.B. als Grenzwert dieser Folge berechnet:
(1+ |
1
-
n |
)n für n ®
¥
|
| Diese Zahl ist von ähnlicher Bedeutung wie die
Kreiszahl p. Sie ist insbesondere bei
Wachstums- und Zerfallsprozessen zu finden. |
 Wachstums- und
Zerfalls- funktionen:
Aus der Klasse 10 sind Funktionen der Art f(x) = 2x und g(x) = 2-x
bekannt.
Funktionen mit der Basis e haben die schöne Eigenschaft, dass gilt:
(ex)¢= ex,
d. h. ihre Ableitung ist die Funktion selbst.
Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich folgender Zusammenhang:
f(x) = a · e-kx Þ
f¢(x) = -k · a · e-kx
= -k · f(x)
Für diese Funktion lässt sich die Stammfunktion einfach angeben:
| f(x) = a · e-kx
Þ F(x) = - |
a
-
k |
· e-kx |
|
2.) Schaltskizze und Differentialgleichung
 |
Für den Auf- und Entladevorgang gehen wir von
rechtstehendem Schaltkreis aus. Ein Kondensator mit der Kapazität C und
ein Widerstand R sind in Reihe geschaltet.
Für den Aufladevorgang wird eine äußere Spannung U0
angelegt, für den Entladevorgang wird kurzgeschlossen U0 =
0. |
Hier gilt folgender Zusammenhang: U0 = UC + UR.
Für die Spannung am Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz: UR =
R·I.
| Für die Spannung am Kondensator
gilt: UC = |
Q
-
C |
|
Zusätzlich gilt noch: I = |
.
Q |
|
| So ergibt sich die Differentialgleichung:
U0 = |
Q
-
C |
+ R· |
.
Q
|
|
Anschaulich muss sich folgendes ergeben:
 | Der Kondensator ist aufgeladen, die Spannung am Kondensator treibt die
Ladungen an.
| Über den ohmschen Widerstand fließt ein Strom, der Kondensator entlädt
sich, d. h. die Ladungen nehmen ab.
| Dadurch wird die Spannung geringer und somit ebenfalls die Stromstärke.
| Die Ladungsabnahme erfolgt somit langsamer, die Abnahme der Spannung
ebenfalls ... |
| | |
 |
Für den Entladevorgang vereinfacht sich die DGL zu:
| 0 = |
Q
-
C |
+ R· |
.
Q
|
, also |
.
Q
|
= - |
Q
-
R·C |
|
|
Die Lösung dieser DGL haben wir weiter oben schon bestimmt: Für
f(x) =
a·e-kx.
Wenn wir das auf diese DGL anwenden, erhalten wir: |
Dabei gilt: Q(0) = Q0, dies stellt die Ladung des Kondensators vor
dem Entladen dar. Daraus lassen sich die weiteren Größen bestimmen:
| UC(t) = |
Q
-
C |
= |
Q0
-
C |
· e-[t/RC]
, mit U0 = |
Q0
-
C |
|
|
wobei U0 die Spannung angibt, mit der der Kondensator aufgeladen
worden war.
| UR = -UC(t)
= -U0·e-[t/RC] |
| I(t) = |
.
Q
|
= - |
Q0
-
RC |
· e-[t/RC] ,
mit |
Q0
-
RC |
= |
U0
-
R |
= I0 was die
Stromstärke zu Anfang angibt. |
Die Zerfallsfunktionen haben die Eigenschaft, dass in selben Zeiträumen
derselbe Anteil der Ausgangsmenge ,,zerfällt''. Nach der Halbwertszeit TH
ist die noch die Hälfte, nach 2TH noch ein Viertel ... vorhanden.
| Aus unserer Funktion bestimmen wir mit dem
Ansatz Q(TH) = |
Q0
-
2 |
|
| die Halbwertszeit zu TH =
RCln2 |
Experiment: Wir entladen einen Kondensator mit C = 40 mF
über den y-t-Schreiber (Eingangswiderstand R=2MW. Es
ergibt sich eine Entladekurve (für UR) wie oben abgebildet. Daraus lässt
sich die Halbwertszeit ermitteln, die nach obiger Formel TH = 55s
ergeben müsste.
 |
Für den Aufladevorgang suchen wir die Lösung der DGL
| U0 = |
Q
-
C |
+ R· |
.
Q
|
also |
.
Q
|
= |
U0
-
R |
|
- |
Q
-
R·C |
|
|
|
| Die Lösung dieser DGL ist gegeben
durch: Q(t) = Q0 · (1 - e-[t/RC]) |
|
Dabei gilt: Für t ® ¥
geht Q(t) ® Q0, dies stellt die Ladung
des Kondensators im Endzustand dar.
Daraus lassen sich die weiteren Größen bestimmen:
| UC(t) = |
Q
-
C |
= U0· (1 -
e-[t/RC]) mit
U0 = |
Q0
-
C |
wobei U0
die Spannung der Spannungsquelle angibt. |
|
| UR = U0 -
UC(t) = U0 · e-[t/RC] |
|
| I(t) = |
.
Q
|
= |
Q0
-
RC |
· e-[t/RC]
mit |
Q0
-
RC |
= |
U0
-
R |
= I0 was
die Stromstärke zu Anfang angibt. |
|
Gegeben ist die Spannung U0 = 20 V der Spannungsquelle und die
Stromkurve I(t) beim Aufladevorgang. Aus der Grafik sind verschiedene Größen
bestimmbar:
Aus der Anfangstromstärke I0 = 1 A kann der Widerstand R bestimmt
werden: U0 = R · I0 Þ R = 20 W.
 |
Aus der Halbwertszeit TH = 1,0 s lässt sich
dann die Kapazität C bestimmen über TH = RC ln2 Þ
C = 72 mF.
Alternativ lässt sich auch aus der Stromstärke zu einer Zeit t > 0
die Kapazität bestimmen, z. B. für t = 1,0 s: |
|
Zuerst wird I(1s) = 0,5A abgelesen, daraus lässt sich für diesen Zeitpunkt UR
= R · I = 10 V und UC = U0 - UR
= 10 V berechnen.
Nun wird zusätzlich aus der Stromkurve die bis zur Zeit t geflossenen Ladung Q
bestimmt, indem man die Fläche unter der Strom-Kurve durch ein Trapez annähert:
Q=0,5·(I0+I(1s))·t=0,5·1,5A·1s=0,75C. Da für den Kondensator
gilt Q=UC·C, kann C=75 mF bestimmt werden. |
Aus dem Entladevorgang läßt sich sehr einfach der Energieinhalt des
Kondensators bestimmen.
Es gilt in einem Stromkreis: P=U·I.
| Außerdem gilt: P = |
.
W
|
Damit
gilt umgekehrt W = |
ó
õ |
P dt |
|
| Damit erhalten wir beim
Entladevorgang: W= |
ó
õ |
¥
0 |
U(t)·I(t) dt = |
|
|
ó
õ |
¥
0 |
U0·e-[t/RC]
· |
æ
ç
è |
- |
Q0
-
RC |
· e-[t/RC] |
ö
÷
ø |
dt = - |
ó
õ |
¥
0 |
|
U0·Q0
------
RC |
· e-[2t/RC] dt
= |
|
| - |
é
ê
ë |
U0·Q0
-----
2 |
· e-[2t/RC] |
ù
ú
û |
¥
0 |
= - |
é
ê
ë |
0 - |
U0·Q0
------
2 |
ù
ú
û |
= |
U0·Q0
--------
2 |
|
|
| Damit folgt:
WC = |
1
-
2 |
U0·Q0= |
1
-
2 |
C·U02 = |
Q02
----
2C |
|
|
Physikalisch interessant ist nun noch die Frage, wo die Energie im Kondensator
gespeichert wird: Auf den Platten, in den Ladungen,...
Dazu betrachten wir folgende Umformung:
| W = |
1
-
2 |
C·U02 = |
1
-
2 |
e0er |
A
-
d |
· (Ed)2 = |
1
-
2 |
e0er
E2Ad = |
1
-
2 |
e0er
E2 V |
|
Die Energie des Kondensators ist proportional zum Volumen des Kondensators. Dies
deutet darauf hin, das die Energie im Volumen zwischen den Platten sitzt, also: die
Energie steckt im elektrischen Feld! Wir können damit die
Energiedichte r des elektrischen Feldes angeben:
| r = |
W
-
V |
= |
1
-
2 |
e0er
E2 |
|
File translated from TEX by TTH,
version 2.80. - On 29 Jan 2001, 20:16. | |
[ Rudolf-web.de
]
[ Gästebuch
]
[ What's
new? ]
j.rudolf@web.de
Besucher seit 04.04.02: 
|